Définition
\(\triangleright\) Définition de l'Equation de Schrödinger
L'équation de Schrödinger spécifie comment l'onde quantique \(\Psi(x,t)\) de la particule évolue au cours du temps.
En notation de Dirac, cette équation donne la loi d'évolution du vecteur \(\ket{\Psi(t)}\) dans l'Espace de Hilbert \(\mathcal H\) :- Dépendant du temps:
$${{i\hbar\frac{d\ket{\Psi} }{dt}=\hat H\ket{\Psi(t)} }}$$- Indépendant du temps:
$${{\hat H\Psi_n(\vec r)=E_n\Psi_n(\vec r)}}$$
Avec:- \(\hat H\): l'Hamiltonien
- \(\Psi_n(\vec r)\): les fonctions propres de l'Hamiltonien en représentation des coordonnées
- \(E_n\): les valeurs propres de l'Hamiltonien
Les fonctions \(\Psi_n(\vec r)\) sont des états stationnaires.
\(\triangleright\) Notation en fonctions d'ondes
$$i\hslash\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hslash^2}{2m}\Delta\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)$$
Propriétés
\(\triangleright\) Linéarité de l'équation de Schrödinger
L'équation de Schrödinger est linéaire.
Cela implique les propriétés suivantes:
- La somme des fonctions d'ondes \(\ket{\Phi(0)}=\ket{\Psi_1(0)}+\ket{\Psi_2(0)}\) évolue comme la somme des évolutions \(\ket{\Phi(t)}=\ket{\Psi_1(t)}+\ket{\Psi_2(t)}\)
- Le produit \(\ket{\Phi(0)}=\lambda\ket{\Psi(0)}\) évolue comme \(\ket{\Phi(t)}=\lambda\ket{\Psi(t)}\)
Espace projectif
Principe de superposition
\(\triangleright\) Conservation de la norme de la fonction d'onde au cours du temps
Grâce à l'équation de Schrödinger, on comprend que la norme de la fonction d'onde se conserve au cours du temps.
$$||\Psi(t)||^2=\langle\Psi(t)|\Psi(t)\rangle=cnst$$
:
$$\frac{d(\langle\Psi|\Psi\rangle)}{dt}=\langle\frac{d\Psi}{dt}|\Psi\rangle+\langle\Psi|\frac{d\Psi}{dt}\rangle=\langle-i\frac{\hat H}{\hslash}\Psi|\Psi\rangle+\langle\Psi|-i\frac{\hat H}{\hslash}\Psi\rangle$$
$$=\left(\frac{i}{\hslash}\right)\left(\langle\Psi|\hat H^{\dagger}\Psi\rangle-\langle\Psi|\hat H\Psi\rangle\right)=0$$
Manipulation de l'
Hamiltonien et de
Opérateurs autoadjoints - hermitiques
Equation non-linéaire
\(\triangleright\) Enoncé de l'équation de Schrödinger non-linéaire 1D
L'équation de Schrödinger non-linéaire (1D) est une équation permettant de décrire la propagation d'onde dans un milieu non-linéaire \(\chi^{(3)}\).
L'équation adimensionné est la suivante :
$${{i\frac{\partial \Psi}{\partial t}\pm\frac 12\frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2}-\Psi|\Psi|^2}}=0$$
Solution remarquable
Soliton NLS-1D
\(\triangleright\) Forme du soliton de l'équation NLS-1D
La forme du Soliton pour l'équation de 'Non-linear Schrödinger' à une dimension est la suivante:
$$\Psi(x,t)={{\mathcal{sech}(x)e^{\frac{i}2t} }}$$
